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益智数独 3 提 高 篇 图书在版编目(CIP)数据
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益智数独 。 3,提高篇 / 江安海编著 。 -- 北京 : 人民日报
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出版社 , 2020。12
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ISBN 978-7-5115-6619-5
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Ⅰ.①益 … Ⅱ.①江 … Ⅲ.①智力游戏 - 儿童读物
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Ⅳ.① G898。2
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中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2020) 第 207182 号
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益智数独 。 3,提高篇
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328 千字
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2020 年 12 月第 1 版
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2020 年 12 月第 1 次印刷
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ISBN 978-7-5115-6619-5
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88。00 元(全 3 册)
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第一部分 候选数法的初探:矩形与三链列
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数独游戏是一种风靡全世界的填数字逻辑推理游戏,起源于 18 世纪
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大数学家欧拉发明的一种填数字游戏。“数独”一词源于日语,意思是“数
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字只出现一次”。
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数独游戏的规则非常简单,数字排列的内容却千变万化。玩数独游
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戏,有条不紊、周密细致的观察能力是关键。玩数独游戏不仅需要周密
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观察,还需要有准确的判断能力,每一步都需要充分利用盘面的条件,
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严格考察应用条件,然后进行准确无误的推导。
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经常玩数独游戏,对于训练细致的观察能力、启迪逻辑思维能力以
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及提升专注能力大有裨益。作为一种健康的益智类游戏,数独受到越来
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越多家长的关注,成为孩子开发智力、训练思维的主要方式之一。
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本书挑选了六种数独游戏的高级技法,适合有一定基础的数独爱好
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者使用。书中共分四个部分,第一部分包含了矩形和三链列两种候选数
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法,第二部分包含了 XY 形态和 XYZ 形态两种高级技巧,第三部分包含
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了 W-wing 和远程数对两种候选数法的高级技巧,第四部分为数独游戏大
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练兵。围绕这六种候选数解法,全书配备了 210 道精选的数独游戏,供
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读者练习精进,享受奇妙的数独乐趣。
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书中对游戏解法的应用条件作出了详尽说明,精选例题,图文并茂,
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解读细腻,力求通过观看图示就能理解到其中的数独技巧。
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编著者
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2020 年 7 月
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前 言
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益智数独 3 提 高 篇
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第一部分 候选数法的初探:矩形与三链列
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第一部分 候选数法的初探:矩形与三链列 ……………………… 001
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1。结构形态及其性质 ……………………………………………… 001
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2。例题精解 ………………………………………………………… 007
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3。数独大本营 ……………………………………………………… 024
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第二部分 数独的进阶:XY形态和XYZ形态 ……………………… 049
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1。结构形态及其性质 ……………………………………………… 049
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2。例题精解 ………………………………………………………… 053
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3。数独大本营 ……………………………………………………… 067
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第三部分 特殊的类数对:W-wing与远程数对 …………………… 092
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1。结构形态及其性质 ……………………………………………… 092
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2。例题精解 ………………………………………………………… 096
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3。数独大本营 ……………………………………………………… 107
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第四部分 数独乐园大练兵…………………………………………… 132
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初级:测一测你的解题能力! …………………………………… 132
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中级:发挥你的解题技巧! ……………………………………… 140
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高级:运筹帷幄,搏击终盘! …………………………………… 148
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挑战:来一场终极PK! …………………………………………… 156
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参考答案 ……………………………………………………………… 163
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目 录
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益智数独 3 提 高 篇
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第一部分 候选数法的初探:矩形与三链列
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001
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第一部分
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候选数法的初探:矩形与三链列
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1。 结构形态及其性质
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在玩数独游戏的过程中,常常会出现许多复杂的情形,常规的技巧
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根本无法突破,此时就需要运用更多的高级技法,这些技法的运用能让
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一筹莫展的我们一下子看到希望的曙光。
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在应用余数法时,我们需要计算空格的余数。这时,必定要观察并
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清点同位群中已经出现过的数值(提示数、数值解),或者是确定会出
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现的数字(如区块、数对、三数集等)。这个过程比较复杂,为了避免
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重复计算,我们可以用铅笔以小字的形式将所有余数都标注在空格内。
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如果一个数字填入某个空格,根据已知的解法暂时不能发现矛盾,那
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么,这个数字称为该空格的候选数。显然,余数可以作为空格的候选数。
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一般情况下,空格会有多个候选数,而根据数独的游戏规则,每个
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空格的数值都是唯一的,当空格的候选数多于一个时,其中必定存在不
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合格的数字,需要剔除。
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假设某空格等于某数字时,会导致与已知条件或者游戏规则之间发
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生矛盾,那么就可以将该数字从该空格的候选数队列中剔除。例如获得
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002
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益智数独 3 提 高 篇
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某空格 A 的数值等于 a,那么就可以将 A 的同位群中所有空格的候选数 a
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全部排除掉,否则单元内的数值将重复,与数独的游戏规则产生矛盾。
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根据盘面上空格的候选数及其结构,以及一定的逻辑规则,可以不
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断地排除不合格的候选数,最终使得该空格的候选数只剩下一个时,该
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空格的数值就等于这个候选数。这种方法被称为候选数法。
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在适当的条件下,建议尽可能地将盘面上更多空格的余数计算出来,
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建立候选数表,这样做可以帮助游戏者获得更多的信息。但是,在某些
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情况下并不需要将盘面上所有空格的候选数都计算出来也可以应用候选
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数法,例如矩形和三链列。
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C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9
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R2
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R5
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第一部分 候选数法的初探:矩形与三链列
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003
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如图 1。1 所示,观察并分别找出 R2 和 R7 中的区块。
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因为 R8C7=4,R4C8=4 以及 R3C9=4,所以空格 R2C7、R7C7、R2C8、
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R7C8、R2C9 和 R7C9 均不等于 4。这说明空格 R2C2 和 R2C6 中至少有一
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个空格的值为 4,以及空格 R7C2 和 R7C6 中至少有一个空格的值为 4。
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注意以下空格的候选数及其结构:
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观察 R2,在空格 R2C2 和 R2C6 中,至少有一个空格的值为 4,即存
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在区块 R2C26=4;
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观察 R7,在空格 R7C2 和 R7C6 中,至少有一个空格的值为 4,即存
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在区块 R7C26=4。
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空格 R2C2 和 R7C2 属于第二列,空格 R2C6 和 R7C6 属于第六列。
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根据上述条件,空格 R2C2 和 R2C6、空格 R7C2 和 R7C6 构成了矩形,
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国外称之为 X-wing。
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矩形涉及两行和两列的四个空格,它们形成了矩形的顶点。
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如果矩形在两行中的顶点构成区块并且等于 a,那么在两列中的顶点
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也构成区块,也等于a ;相反,如果矩形在两列中的顶点构成区块且等于a,
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那么在两行中的顶点也构成区块,也等于 a。
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根据上述例子,可以得到以下结果:
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在 C2 中,空格 R2C2 和 R7C2 至少有一个空格的数值为 4,即区块
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R27C2=4;
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在 C6 中,空格 R2C6 和 R7C6 至少有一个空格的数值为 4,即区块
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R27C6=4。
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用反证法不难验证上述结论。假设空格 R2C2 和 R7C2 均不等于 4,
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因为R2C26=4,所以R2C6=4。同理,R7C6=4。这说明第六列中数值4重复,
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出现矛盾。
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这时,计算 R6C2 的余数。因为区块 R27C2 在其同位群中,根据余
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数法,有 R6C2=3。
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因为第五行中只剩下两个空格,相对应的数字为 1 和 4,又因为区块
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R27C6=4,所以有 R5C4=4。
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三链列的构成与矩形类似,涉及三行三列,最多时有九个顶点。
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C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9
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图 1。2
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如图 1。2 所示,注意如下空格的候选数及其结构:
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在 R2 中,因为 R3C8=1,所以 R2C7、R2C8 和 R2C9 均不等于 1。
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因此,空格 R2C1、R2C2 和 R2C6 中至少有一个空格的数值为 1,即区块
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R2C126=1。
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在 R6 中,因为 R4C7=1,所以 R6C9≠1。因此空格 R6C1 和 R6C2 中
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至少有一个空格的数值为 1,即区块 R6C12=1。
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在 R9 中,只剩下三个空格 R9C1、R9C2 和 R9C6,根据余数法,有
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剩余区块 R9C126=1。
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空格 R2C1、R6C1 和 R9C1 属于第一列,空格 R2C2、R6C2 和 R9C2
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属于第二列,空格 R2C6 和 R9C6 属于第六列。
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根 据 上 述 条 件, 空 格 R2C1、R2C2、R2C6 和 R6C1、R6C2 以 及
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R9C1、R9C2、R9C6 构成了三链列。
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如果三链列在三行中的顶点构成区块并且等于 a,那么在三列中的顶
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点也构成区块,也等于 a;相反,如果三链列在三列中的顶点构成区块且
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等于 a,那么在三行中的顶点也构成区块,也等于 a。
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根据三链列形态,结合上面的例子,可以得到如下结果:
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在 C1 中,空格 R2C1、R6C1 和 R9C1 中至少有一个空格的数值为 1,
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即区块 R269C1=1;
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在 C2 中,空格 R2C2、R6C2 和 R9C2 中至少有一个空格的数值为 1,
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即区块 R269C2=1;
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在 C6 中,空格 R2C6 和 R9C6 中至少有一个空格的数值为 1,即区
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块 R29C6=1。
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用反证法不难验证上述结论。假设空格 R2C6 和 R9C6 均不等于数
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值 1,那么,区块 R2C12=1,区块 R6C12=1,并且区块 R9C12=1。这是
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不可能的结果,因为 R2C12、R6C12 和 R9C12 中任何两个区块中包含
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数值 1,都导致第三个区块中将排除了候选数 1,也意味着第三个区块
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所在的行中均排除了数字 1,出现矛盾。同理,可以证明 R269C1=1,
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R269C2=1。
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再注意到在第三列 C3 中,因为 R1C5=7,所以 R1C3≠7。因此,空
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格 R7C3 和 R8C3 中至少有一个空格的数值为 7,即区块 R78C3=7。
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这时,计算 R8C1 的余数。考虑到区块 R269C1=1 和区块 R78C3=7,
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有 R8C1=3。
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在候选数法中,矩形和三链列这两种方法相对比较简明,甚至可以
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通过直接观察获得结果。
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第一部分 候选数法的初探:矩形与三链列
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007
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2。 例题精解
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例题 1 根据九阶数独游戏的规则,每一行、每一列、每一宫内,数
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字 1、2、3、4、5、6、7、8、9 都会出现并且只能出现一次。如图 1。3 所
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示,你能根据游戏规则获得终盘吗?
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请拿出铅笔和橡皮,让我们跟着解题思路来深入地了解矩形与三链
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图 1。4
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首解 如图 1。4 所示,观察 B5。
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因为 R5C7=7,所以 R5C4、R5C5 和 R5C6 均不等于 7。
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因为 R6C2=7,所以 R6C4、R6C6 均不等于 7。
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因为 R3C6=7,所以 R4C6≠7。
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这样,根据宫唯一数法,有 R4C4=7。
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第2解 如图 1。5 所示,观察 B5。
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因为 R4C8=3,R5C3=3,R7C4=3,所以有 R6C6=3。
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第3解 如图 1。6 所示,观察 B2。
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因为 R9C4=5,R6C5=5,所以有 R2C6=5。
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第4解 观察 B6。
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因为 R4C2=5,R6C5=5,R7C8=5,所以有 R5C9=5。
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第5解 如图 1。7 所示,观察 B2。
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因为 R1C7=1,R4C5=1,所以有 R2C4=1。
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第6解 观察 B3。
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因为 R2C6=5,R7C8=5,R5C9=5,所以有 R3C7=5。
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第7解 观察 R7。
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因为 R8C2=9,所以有 R7C9=9。
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图 1。8
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第8解 如图 1。8 所示,计算空格 R8C4 的余数。
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根据余数法,有 R8C4=6。
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第9解 再计算空格 R1C4 的余数,根据余数法,有 R1C4=9。
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图 1。9
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第 10 解 如图 1。9 所示,观察 R2。
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因为 R8C2=9,R6C3=9,R1C4=9,R4C7=9,R7C9=9,所以有 R2C1=9。
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第 11 解 观察 C8。
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因为 R1C4=9,R4C7=9,R7C9=9,所以有 R3C8=9。
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第 12 解 如图 1。10 所示,观察 R3 和 R6。
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注意如下空格的候选数及其结构:
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R1
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图 1。10
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在 R3 中,空格 R3C1 和 R3C9 形成剩余数对 {3,6}。
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因为 R8C4=6,R7C7=6,所以 R6C4 和 R6C7 均不等于 6。因此,
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在 R6 中,空格 R6C1 和 R6C9 中至少有一个空格的数值为 6,即区块
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R6C19=6。
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综合以上说明,可知空格 R3C1、R3C9 和 R6C1、R6C9 构成了矩形。
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根据矩形的性质,可以得到如下结果:
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在 C1 中,空格 R3C1 和 R6C1 中至少有一个空格的数值为 6,即区
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块 R36C1=6;
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在 C9 中,空格 R3C9 和 R6C9 中至少有一个空格的数值为 6,即区
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观 察 R9。因为区块 R36C1=6,又因为 R8C4=6,R7C7=6,所以有
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R9C2=6。
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第 13 解 如图 1。11 所示,在 B7 中,因为 R5C3=3,R7C4=3,所以在
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空格 R8C1 和 R9C1 中至少有一个空格的数值为 3,即区块 R89C1=3。
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在 R3 中,因为区块 R89C1=3,所以有 R3C9=3。
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图 1。12
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终盘 观察第三行,R3 中只剩下一个空格,有 R3C1=6。
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根据数独游戏的基础解法,依次可以得到其他空格的解。游戏终盘
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如图 1。12 所示,不再赘述。
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益智数独 3 提 高 篇
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例题 2 根据九阶数独游戏的规则,每一行、每一列、每一宫内,数字1、
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2、3、4、5、6、7、8、9 都会出现并且只会出现一次。如图 1。13 所示,
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你能根据游戏规则获得终盘吗?
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请拿出铅笔和橡皮,让我们根据解题思路继续来了解矩形与三链列
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的解题之妙。
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图 1。13
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首解 如图 1。14 所示,计算空格 R5C3 的余数。
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根据余数法,有 R5C3=4。
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图 1。14
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第2解 如图 1。15 所示,观察 B3。
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因为 R1C5=7,R2C2=7,R7C7=7,所以有 R3C8=7。
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第3解 观察 B4。因为 R2C2=7,R9C1=7,所以有 R4C3=7。
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第4解 观察 B6。因为 R6C3=6,R8C8=6,R1C9=6,所以有 R5C7=6。
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第5解 观察 R7。因为 R6C3=6,R9C5=6,R8C8=6,所以有 R7C2=6。
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第6解 观察 B8。因为 R7C7=7,R9C1=7,所以有 R8C4=7。
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第7解 如图 1。16 所示,观察 B2。
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因为 R5C4=5,R8C6=5,所以有 R3C5=5。
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第8解 观察 R8。因为 R7C1=9,R4C7=9,所以有 R8C9=9。
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图 1。17
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第9解 如图 1。17 所示,观察 R3。
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因为 R7C1=9,R5C2=9,R4C7=9,所以有 R3C4=9。
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第 10 解 观察 C4。因为 R1C9=6,R6C3=6,R9C5=6,所以有 R4C4=6。
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第 11 解 观察 C5。因为 R4C7=9,R5C2=9,R7C1=9,所以有 R6C5=9。
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图 1。18
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第 12 解 如图 1。18 所示,观察 B2。因为 R1C9=6,所以有 R2C6=6。
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第 13 解 观察 R3。因为 R7C2=6,R5C7=6,所以有 R3C1=6。
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第 14 解 观察 C5。因为 R5C3=4,R7C4=4,所以有 R4C5=4。
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第 15 解 观察 C9。因为 R4C5=4,R5C3=4,R7C4=4,所以有 R2C9=4。
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第 16 解 观察 B8。因为 R3C4=9,R7C1=9,所以有 R9C6=9。
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图 1。19
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第 17 解 如图 1。19 所示,观察 R1、R4 和 R7,由于在 B2 中有剩余
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数对 {1,8},并且 R2C5=2,R3C9=2,R5C8=2,注意如下空格的候选数
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在 R1 中,空格 R1C2、R1C3 中至少有一个的数值为 2,即 R1C23=2;
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在 R4 中,空格 R4C2、R4C6 中至少有一个的数值为 2,即 R4C26=2;
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在 R7 中,空格 R7C3、R7C6 中至少有一个的数值为 2,即 R7C36=2。
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这 样, 空 格 R1C2、R1C3 和空格 R4C2、R4C6 以及空格 R7C3、
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R7C6 构成了三链列。
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根据三链列的性质,有如下结论:
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在 C2 中,空格 R1C2、R4C2 中至少有一个空格的数值为 2,即
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R14C2=2;
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在 C3 中,空格 R1C3、R7C3 中至少有一个空格的数值为 2,即
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R17C3=2;
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在 C6 中,空格 R4C6、R7C6 中至少有一个空格的数值为 2,即
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R47C6=2。
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这时,计算空格 R8C3 的余数。考虑到区块 R17C3=2,根据余数法,
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有 R8C3=1。
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第 18 解 如图 1。20 所示,观察 C2。
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因为 B2 中有剩余数对 {1,8},所以第一行 R1 中空格 R1C2 和 R1C3
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均不等于 1。又 R4C1=1,以及 R8C3=1,因此有 R3C2=1。
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第 19 解 观察 R3。第三行只剩下一个空格,即 R3C7=8。
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小学生益智数独提高篇。indd 48 2020/11/30 星期一 14:12:24 [ ] [ ] 解题时间解题时间第
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题
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第
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题
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第二部分 数独的进阶:XY 形态和 XYZ 形态
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第二部分
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数独的进阶:XY 形态和 XYZ 形态
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1。 结构形态及其性质
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在候选数法的高级技巧中,XY 形态与 XYZ 形态是两类特殊而又较
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为常用的解题技法,往往能在关键时刻为我们独辟蹊径,打开全新的解
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题视野。
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如果空格 A 的候选数为 X 和 Z,空格 B 的候选数为 Y 和 Z,空格 C
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的候选数为 X 和 Y,并且空格 C 位于空格 A 和 B 同位群的公共部分,那
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么空格 A、B 和 C 就构成了 XY 形态。这时,空格 A 和 B 同位群的公共
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部分可以剔除候选数 Z。
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如图 2。1 所示,计算部分空格的余数,用铅笔以小字标在空格中,尝
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试建立候选数表。
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例如:在第一宫 B1 中,只剩下两个空格,空格 R2C1 和 R2C2 的余
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数均为 2 和 8;在第三宫 B3 中,只剩下两个空格,其余数均为 6 和 9;
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在第一列 C1 中,只剩下两个空格,其余数均为 2 和 8;在第七行 R7 中,
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只剩下两个空格,其余数均为 4 和 9;等等。
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益智数独 3 提 高 篇
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图 2。1
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我们注意观察如下空格的候选数及其结构:
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空格 R4C1 的候选数为 2 和 8,空格 R5C7 的候选数为 2 和 9,空格
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R4C9 的候选数为 8 和 9。
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空格 R4C9 位于空格 R4C1 及 R5C7 同位群的公共部分。
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这样,空格 R4C1、R5C7 和 R4C9 构成了 XY 形态。空格 R4C1、
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R5C7 同位群的公共部分可以排除候选数 2,即 R4C7≠2。
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用反证法验证上述结论。假设空格 R4C1 和 R5C7 同位群的公共部分
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中有数值 2,将导致 R4C1=8,R5C7=9。这个结论将导致空格 R4C9 的候
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选数中排除数字 8 和 9,也就是说,空格 R4C9 没有候选数,这是不可能的。
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第二部分 数独的进阶:XY 形态和 XYZ 形态
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出现矛盾。
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这样,空格 R4C7 的候选数是 4 和 9。因为空格 R7C7 的候选数也是
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4 和 9,所以在 C7 中,空格 R4C7 和 R7C7 中存在数对 {4,9}。
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根据数对的性质,有 R5C7=2。
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如果空格 A 的候选数为 X 和 Z,空格 B 的候选数为 Y 和 Z,空格 C
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的候选数为 X、Y 和 Z,并且空格 C 位于空格 A 和 B 同位群的公共部分,
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那么空格 A、B 和 C 就构成了 XYZ 形态。这时,空格 A、B 和 C 同位群
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的公共部分可以剔除候选数 Z。
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如图 2。2 所示,注意观察如下空格的候选数及其结构:
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空格 R7C1 的候选数为 1 和 5,空格 R9C8 的候选数为 1 和 2,空格
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R9C1 的候选数为 1、2 和 5。
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空格 R9C1 位于空格 R7C1 和 R9C8 同位群的公共部分。
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这样,空格 R7C1、R9C1、R9C8 构成了 XYZ 形态。空格 R7C1、
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R9C1 和 R9C8 同位群的公共部分可以排除候选数 1。
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用反证法不难进行验证。假设空格 R7C1、R9C1 和 R9C8 同位群的
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公共部分中有数值 1,那么有 R7C1=5,R9C8=2,这样将导致空格 R9C1
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没有候选数,这是不可能的。出现矛盾。
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这样,R9C2≠1。因此,有 R9C2=6。
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第二部分 数独的进阶:XY 形态和 XYZ 形态
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2。 例题精解
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例题 3 根据九阶数独游戏的规则,每一行、每一列、每一宫内,数
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字 1、2、3、4、5、6、7、8、9 都会出现并且只能出现一次。如图 2。3 所
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示,你能根据游戏规则获得终盘吗?
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图 2。3
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请拿出你的铅笔和橡皮,让我们跟着解题思路,深入了解 XY 形态
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与 XYZ 形态在游戏中的应用,领略拨云见日般的解题技法。
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图 2。4
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首解 如图 2。4 所示,观察 R2。
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因为 R7C1=4,R3C5=4,R1C9=4,所以有 R2C3=4。
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第2解 观察 R6。因为 R4C2=9,R8C5=9,所以有 R6C4=9。
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第3解 观察 R7。因为 R9C1=3,R8C8=3,所以有 R7C4=3。
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第4解 观察 B7。因为 R4C2=9,R8C5=9,所以有 R9C3=9。
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第5解 观察 R3。因为 R4C2=9,R9C3=9,R2C6=9,R1C8=9,所以
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有 R3C1=9。
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图 2。5
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第6解 如图 2。5 所示,观察 R6。
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因为 R7C1=4,R2C3=4,R3C5=4,所以有 R6C2=4。
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第7解 如图 2。6 所示,观察 B4。
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因为 R6C9=2,所以 R6C1 和 R6C3 均不等于 2。
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这样,空格 R5C1、R5C2 和 R5C3 中至少有一个空格的数值为 2,即
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区块 R5C123=2。
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计算空格 R5C4 的余数。考虑到区块 R5C123=2,根据余数法,有
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R5C4=8。
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图 2。6
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第8解 观察 R2。因为 R5C4=8,R3C9=8,所以有 R2C1=8。
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第9解 如图 2。7 所示,将部分空格的余数用铅笔以小字标注在空格
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中,初步建立候选数表。
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观察 R6, 只剩下三个空格。因为 R2C5=7,所以区块 R6C13=7。
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区块 R6C13 在 B4 中。这样,空格 R5C1、R5C2、R5C3 均可以排除
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图 2。7
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注意观察如下空格的候选数及其结构:
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空格 R5C2 的候选数为 1 和 2,空格 R8C1 的候选数为 2 和 7,空格
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R6C1 的候选数为 1 和 7。
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空格 R6C1 位于空格 R5C2 和 R8C1 同位群的公共部分。
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综合以上所述,空格 R5C2、R6C1 和 R8C1 构成了 XY 形态。
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因此,空格 R5C2、R8C1 同位群的公共部分可以排除候选数 2。
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这样,如图 2。8 所示,有 R7C2=8。
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第 10 解 空格 R8C2 的候选数只剩下 7,所以有 R8C2=7。
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第 11 解 空格 R8C1 的候选数只剩下 2,所以有 R8C1=2。
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第二部分 数独的进阶:XY 形态和 XYZ 形态
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第 12 解 如图 2。9 所示,观察 R8。
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因为 R6C7=8,R3C9=8,所以有 R8C6=8。
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第 13 解 继续观察 R8。
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因为 R2C7=5,所以有 R8C9=5。
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第 14 解 这样,第八行 R8 只剩下最后一个空格,即 R8C7=6。
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图 2。10
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第 15 解 如图 2。10 所示,观察 B2。
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因为 R5C4=8,R8C6=8,所以有 R1C5=8。
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第 16 解 继续观察 B2。因为 R7C4=3,R3C7=3,所以有 R1C6=3。
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第 17 解 观察 B9。因为 R3C9=8,R6C7=8,R7C2=8,所以有 R9C8=8。
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第 18 解 观察 R9。因为 R8C4=4,R1C9=4,所以有 R9C7=4。
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第 19 解 观察 B9。因为 R7C6=7,所以有 R9C9=7。
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图 2。11
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第 20 解 如图 2。11 所示,计算空格 R4C7 的余数。根据余数法,有
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R4C7=1。
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第二部分 数独的进阶:XY 形态和 XYZ 形态
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图 2。12
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第 21 解 如图 2。12 所示,计算所有空格的余数,并且用铅笔以小字
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标注出来,建立候选数表。
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注意在 R3 中,只剩下四个空格,相对应的数字是 2、5、6 和 7。
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因为 C2、C6 中均出现了数值 6 和 7,所以有数对 R3C26={2,5} 和数
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对 R3C38={6,7}。
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观察如下空格的候选数及其结构:
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空格 R1C3 的候选数为 2、6 和 7,空格 R3C3 的候选数为 6、7,空
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格 R1C7 的候选数为 2、7。
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空格 R1C3 位于空格 R3C3 和 R1C7 同位群的公共部分。
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这样,空格 R1C3、R3C3 和 R1C7 构成了 XYZ 形态。
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因此,作为空格 R1C3、R3C3 和 R1C7 同位群的公共部分,空格
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R1C1 可以排除候选数 7,即 R1C1≠7。
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这样,在第一列中空格 R1C1 和 R5C1 的候选数都是 1 和 6,所以有
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数对 R15C1={1,6}。根据数对的性质,空格 R6C1 可以排除候选数 1。
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如图 2。13 所示,有 R6C1=7。
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每当得到一个空格的数值解,需要立刻对候选数表进行整理,排除
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同位群中与其数值相同的候选数。这个步骤是应用候选数法的过程中非
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常重要的环节,不能省略。
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C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9
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第 22-23 解 如图 2。13 所示,观察 R6。
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因为 R6C1=7,所以空格 R6C3 的候选数只剩下 3,所以有 R6C3=3。
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第六行 R6 只剩下最后一个空格,即 R6C5=1。
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注意第五宫。空格 R4C6 和 R5C6 的候选数均为 2 和 4,所以有数对
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R45C6={2,4}。
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在数对{2,4}的影响下,空格R3C6、R4C5和R9C6均可以剔除候选数2。
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C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9
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图 2。14
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第 24 解 如图 2。14 所示,观察 B2。
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空格 R3C6 的候选数唯一,所以有 R3C6=5。
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第 25 解 观察 B5。空格 R4C5 的候选数唯一,所以有 R4C5=3。
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第 26 解 观察 B8。同上,有 R9C5=2。
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图 2。15
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第 27 解 如图 2。15 所示,观察 B1。
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因为空格 R3C2 的候选数唯一,所以有 R3C2=2。
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这样,空格 R1C3 和 R3C3 的候选数均为 6 和 7,所以有数对 {6,7}。
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因此,空格 R1C1 和 R5C3 中可以剔除候选数 6。
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第 28 解 观察 R4。因为只有空格 R4C6 中的候选数存在数字 2,所
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以有 R4C6=2。
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第 29-30 解 观察 B8。空格 R9C4 的候选数唯一,因此,R9C4=5。
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同理,有 R9C6=1。
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第 31-35 解 如图 2。16 所示,注意观察盘面上候选数唯一的空格。
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依次有 R1C1=1,R5C2=1,R5C3=2,R5C6=4,R4C9=6。
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第 36-40 解 根据数独游戏的候选数法,可以获得其他空格的数值,
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例如 R1C2=5,R2C9=1,R4C8=4,R5C1=6,R5C8=7。
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终盘 如图 2。17 所示,根据数独游戏的基础解法,可以获得其他空格
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的数值解,不再赘述。
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3。 数独大本营
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第二部分 数独的进阶:XY 形态和 XYZ 形态
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第三部分
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特殊的类数对:W-wing 与远程数对
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1。 结构形态及其性质
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我们都知道,数对具有非常特别的结构,其特点是同一单元中的
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两个空格锁定两个数字,数值非此即彼。
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在数独游戏的过程中,经常会遇到另外一种候选数结构,即盘面上
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存在两个空格的候选数都是 a 和 b,但是它们并不属于同一个单元。显然,
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这两个空格没有构成真正的数对,只是类似于数对。虽然它们只是类似
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于数对,但将它们找出来,在一定的条件下仍然可以得到非常有价值的
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结果。
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如果不同单元的空格 A 和 B 类似于数对 {a,b},通过同单元的空格 C
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和 D 联系在一起。其中空格 C 和 D 构成区块,数值为 a,并且 A 和 C 属
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于一个单元,B 和 D 也属于一个单元,那么空格 A、B、C、D 构成了
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W-wing。这时,空格 A 和 B 同位群的公共部分可以排除候选数 b。
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第三部分 特殊的类数对:W-wing 与远程数对
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C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9
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图 3。1
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如图 3。1 所示,盘面上剩下的空格不多了。对于所在单元内空格较少
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的单元,计算余数的复杂程度会大大降低。
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请尝试将所有空格中的余数计算出来,使用铅笔以小字标注在相应
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的空格中,建立初始候选数表。
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注意在 B8 中, 因 为 R4C5=1,并且 R7C9=1,所以空格 R8C4 和
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R9C4 中至少有一个空格的数值为 1,即区块 R89C4=1。这个区块的存在
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使得空格 R3C4 的候选数只剩下 7 和 9。
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观察如下空格的候选数及其结构:
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空格 R1C6 和 R9C4 类似于数对,其候选数均为 1 和 7。
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在 C2 中,只有空格 R1C2 和 R9C2 的候选数包含数字 1,即区块
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R19C2=1。
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空格 R1C2 和 R1C6 属于第一行,空格 R9C2 和 R9C4 属于第九行。
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这样,空格 R1C2、R1C6 和空格 R9C2、R9C4 构成了 W-wing。这时,
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空格 R1C6 和 R9C4 同位群的公共部分可以排除候选数 7。
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使用反证法不难验证上述结论。假设空格 R1C6 和 R9C4 的同位群的
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公共部分存在数值 7,例如 R3C4=7,那么 R1C6=1,R9C4=1。这样,在
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第二列 C2 中,剩下的两个空格 R1C2 和 R9C2 均排除了数字 1,这说明
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C2 中没有数值 1,这与数独游戏的规则矛盾。
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因此,R3C4≠7,R7C6≠7。这样,有 R3C4=9。
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C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9
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图 3。2
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第三部分 特殊的类数对:W-wing 与远程数对
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如果不同单元的空格 A 和 B 类似于数对 {a,b},并且能够通过奇数组
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的数对 {a,b} 连接在一起,那么它们就构成了远程数对。这时,空格 A 和
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B 同位群的公共部分可以排除候选数 a 和 b。
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如图 3。2 所示,注意观察如下空格的候选数及其结构:
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在 R1 中,空格 R1C3 和 R1C9 构成数对 {2,6};
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在 C9 中,空格 R1C9 和 R8C9 构成数对 {2,6};
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在 R8 中,空格 R8C2 和 R8C9 也构成了数对 {2,6}。
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空格 R1C3 和 R8C2 构成了远程数对。这时,空格 R1C3 和 R8C2 同
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位群的公共部分可以排除候选数 2 和 6。
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空格 R1C3 和 R8C2 通过三组数对连接在一起,虽然不属于同一单
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元,但是具有数值非此即彼、互不相同的特点。具体验证如下:假设
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R2C2=2,那么 R1C3=6,R1C9=2,R8C9=6,最后推导出 R8C2=2,这个
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结论与 R2C2=2 矛盾。反之,假设 R2C2=6,那么可以推导出 R8C2=6 这
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因此,R2C2≠2 且 R2C2≠6,R7C3≠2 且 R7C3≠6。这样,根据远程数
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对的性质,有 R2C2=5,R7C3=4。
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候选数法属于数独游戏的高级解法,除了矩形、三链列、XY 形态、
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XYZ 形态以及 W-wing、远程数对以外,还有更多有趣的解题方法等待着
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益智数独 3 提 高 篇
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2。 例题精解
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例题 4 根据九阶数独游戏的规则,每一行、每一列、每一宫内,数
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字 1、2、3、4、5、6、7、8、9 都会出现并且只会出现一次。如图 3。3 所
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示,你能根据游戏规则获得终盘吗?
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请拿出你的铅笔和橡皮,让我们跟着解题思路,深入了解特殊类数
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对 W-wing 与远程数对在游戏中的玄妙之处。
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图 3。3
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第三部分 特殊的类数对:W-wing 与远程数对
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图 3。4
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首解 如图 3。4 所示,观察 R1。
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因为 R3C3=3,R7C8=3,R4C9=3,所以 R1C7=3。
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第2解 观察 R2。因为 R7C2=6,R1C4=6,R3C8=6,所以 R2C1=6。
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第3解 观察 R4。因为 R6C3=6,R1C4=6,R9C5=6,R3C8=6,所以
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R4C6=6。
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第4解 观察 B6。因为 R2C8=9,R5C6=9,R7C7=9,所以 R6C9=9。
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第5解 观察 R7。因为 R2C3=4,R1C6=4,R8C7=4,所以 R7C1=4。
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第6解 观察 B7。因为 R6C1=3,R3C3=3,所以 R9C2=3。
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第7解 观察 B8。因为 R3C5=9,R5C6=9,所以 R8C4=9。
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第8解 观察 B9。因为 R3C8=6,R7C2=6,R9C5=6,所以 R8C9=6。
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图 3。5
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第9解 如图 3。5 所示,观察 B1。因为 R3C6=1,R8C2=1,所以 R1C1=1。
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第 10 解 观察 B3。因为 R1C6=4,R2C3=4,R8C7=4,所以 R3C9=4。
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第 11 解 观察 B6。因为 R3C8=6,R6C3=6,R8C9=6,所以 R5C7=6。
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第 12 解 观察 R7。因为 R1C3=8,R9C6=8,所以 R7C9=8。
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第三部分 特殊的类数对:W-wing 与远程数对
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图 3。6
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第 13 解 如图 3。6 所示,观察 B1。因为 R2C8=9,R3C5=9,所以
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R1C2=9。
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第 14 解 观察 C1。因为 R1C3=8,R5C2=8,R9C6=8,所以 R8C1=8。
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第 15 解 观察 R8。因为 R7C5=2,R9C7=2,所以 R8C3=2。
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图 3。7
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第 16 解 如图 3。7 所示,观察 R6,找出其中的区块。
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因为 R3C2=7,R4C7=7,所以空格 R6C4、R6C5 和 R6C6 中至少有一
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个空格的数值为 7,即区块 R6C456=7。
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这时,计算空格 R5C5 的余数。根据余数法,有 R5C5=1。
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第 17 解 如图 3。8 所示,观察 B4。
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因为 R1C1=1,R8C2=1,R5C5=1,所以 R4C3=1。
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第 18 解 观察 B4。因为 R1C2=9,R5C6=9,所以 R4C1=9。
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